procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

ShowMessage('Button 1 clicked');

end;

А нажатие второй обработаем так:

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

var

Pt: TPoint;

begin

{Позволим кнопке Button2 перерисоваться}

Application.ProcessMessages;

{Найдем координаты центра button 1}

Pt.x := Button1.Left + (Button1.Width div 2);

Pt.y := Button1.Top + (Button1.Height div 2);

{Преобразуем Pt к координатам экрана}

Pt := ClientToScreen(Pt);

{Преобразуем Pt к "mickeys" (аболютным координатам курсора мышки}

Pt.x := Round(Pt.x * (65535 / Screen.Width));

Pt.y := Round(Pt.y * (65535 / Screen.Height));

{Переместим курсор мыши}

Mouse_Event(MOUSEEVENTF_ABSOLUTE or MOUSEEVENTF_MOVE, Pt.x, Pt.y, 0, 0);

{Имитируем нажатие левой кнопки мыши}

Mouse_Event(MOUSEEVENTF_ABSOLUTE or MOUSEEVENTF_LEFTDOWN, Pt.x, Pt.y, 0, 0);

{Имитируем отпускание левой кнопки мыши}

Mouse_Event(MOUSEEVENTF_ABSOLUTE or MOUSEEVENTF_LEFTUP, Pt.x, Pt.y, 0, 0);

end;